電力系統中存在大量的靜電場問題，如換流閥屏蔽系統表面電場強度控制、變電站工頻電場分布和輸電線路周圍電磁環境等問題。邊界元法（Boundary Element Method, BEM）基于邊界積分方程，采用解析的基本解，是一種適合于開域問題的高精度數值計算方法。邊界元法只需要對邊界進行剖分，簡化了網格的生成，具有降低求解維度的優勢，與有限元法（Finite Element Method, FEM）相比可以減少計算的自由度。

由于邊界積分方程的全局性，BEM形成的系數矩陣是滿陣，計算系數矩陣的時間較長，存儲需要大量空間，因此消耗大量計算資源，限制了求解規模。目前已經形成了不同的快速算法來解決這一問題，例如多層快速多極子方法（Fast Multipole Method, FMM）、分級矩陣壓縮方法、小波邊界元方法和自適應交叉近似方法等。其中FMM利用球諧函數展開，引入多極展開和局部展開，利用展開系數在分層樹結構中的遞歸運算，完成源點與場點之間相互作用的聚合、轉移和分散，從而加速計算矩陣與向量的乘積。

多極子方法與邊界元結合形成多極子邊界元方法（Fast Multipole Boundary Element Method, FMBEM），避免形成完全的系數矩陣，計算量和存儲量與自由度近似呈線性關系，解決了傳統邊界元法求解規模限制的問題，在三維電磁問題中已經得到廣泛應用。本文中利用多極子方法加速邊界元，提高計算速度，減少計算中內存的占用量，擴大求解規模。

實際工程問題邊界元分析的誤差總體上分為三類：模型誤差、離散誤差和計算誤差。其中離散誤差是由于計算所需的網格模型不能完全與真實物理模型吻合造成的。傳統上減小離散誤差的方法是增加單元數量和采用高階插值單元，但是這兩種方法會造成計算自由度的增加，降低了計算效率。

目前處理這一問題的方法主要有三種：等幾何法、參數空間法和基于坐標變換的曲面單元法。等幾何法基于三維建模中使用的樣條函數，如非線性有理B樣條、T樣條等，利用樣條基函數進行插值和積分計算，實現真實模型和網格模型的一體化。參數空間法在CAD軟件中進行建模，利用邊界表征將表面映射到二維平面參數空間。在參數空間完成網格劃分，由于二維參數化空間和三維物理模型空間具有一一映射關系，同樣可以實現真實模型與網格模型的一體化。

基于坐標變換的曲面單元法利用不同的坐標變換將常規使用的平面單元轉換到二維空間，進行插值和數值積分計算，等價于在實際的曲面單元進行計算。與參數空間法不同，曲面單元法的網格與傳統網格劃分方法相同，都是在實際三維模型上進行。基于坐標變換的方法與另外兩種方法相比具有計算簡單的優勢。本文利用基于坐標變換的曲面邊界元法（Curved Boundary Element Method, CBEM）消除離散誤差，提高計算精度。

綜上所述，針對電力系統中的靜電場問題，基于間接積分方程，使用多極子方法加速曲面邊界元形成多極子曲面邊界元方法（Fast Multipole Curved Boundary Element Method, FMCBEM），提高計算精度和效率，擴大求解規模。為了適應曲面邊界元的特點，對多極子方法中樹結構的劃分方法進行改進。通過不同的算例研究了該算法在計算精度和計算效率方面的表現。最后，應用該算法分析了±350kV換流閥屏蔽系統表面電場分布，驗證該算法對大規模問題的解決能力。

圖1 曲面邊界元計算過程

結論

本文針對電力系統中的靜電場問題，通過多極子方法加速基于坐標變換的曲面邊界元法，形成了多極子曲面邊界元方法。該方法與曲面邊界元方法、多極子平面邊界元方法相比有如下優勢：與曲面邊界元相比，提高了計算速度和效率，擴大了求解規模；與多極子平面邊界元方法相比，增加了計算精度，可以在更少單元情況下實現更高的計算精度。

此外對多極子方法中樹結構的劃分進行改進，劃分中考慮了單元尺寸和柵格尺寸之間的關系，減小計算誤差，進一步增加了計算精度。在個人計算機上完成了節點數為17.9萬的±350kV單橋臂換流閥的屏蔽系統的表面電場強度的分析。

本文方法對于分析大規模靜電場問題具有優勢。為了進一步加快計算速度，下一步考慮采用多核并行的方式進行計算。