在非線性磁場的求解和分析中，可以通過引入不同的位和位組，簡化計算或提高效率。基于磁矢量位A的有限元法在二維、三維非線性磁場問題的求解中得到了廣泛的應用。然而在三維場的計算中，由于每一個節點上A有三個方向分量，使得總未知量相對較多，進而占用較多內存；相對而言，基于磁標量位Ф的計算則有未知量總數少的優點。

另一方面，磁場問題中作為激勵的外加電流的處理十分關鍵，尤其是在考慮場路耦合的條件下。一般直接在激勵源網格中施加電流密度或者通過積分的方法計算電流對簡化位的貢獻，前者難以保證激勵源與實體網格的準確吻合，后者則需要額外的積分運算，且不易處理場路耦合關系。

已有學者針對基于磁標量位的有限元法進行了研究。

• 有學者提出了對靜態磁場進行求解的單標量磁位法，并對相關模型進行了求解。
• 有學者對簡化標量位法、雙標量位法和差場標量位法三種方法進行了分析，可以對一些問題進行比較準確的求解。
• 有學者使用雙標量磁位法對開域靜磁場進行了研究。
• 有學者給出了有源區域的處理方法并應用到三維電磁場的求解中。

但上述研究大多數針對無源區域的磁場進行分析，在有源區域的磁場需要通過積分的方法得到，在處理問題的過程中具有比較大的局限性。國外專家學者對磁標量位問題的研究相對較多。L. F. Yann等基于磁標量位對三維磁場的計算方法進行了深入研究。O.Bíró等在時域下采用磁標量位對渦流問題進行了計算和分析。M. Gérard等基于磁標量位對塊狀導體中的場路耦合關系和多連通域的處理方法進行了研究。

太陽磁暴的周期性變化產生的準直流、高壓直流輸電中單極大地回路方式或雙極以不平衡方式運行和電力系統中電力電子器件特性的影響均會導致直流偏磁現象的發生。直流偏磁的發生會使變壓器工作在半飽和狀態，引起勵磁電流發生畸變、損耗增加、溫升增加和振動加劇等后果，嚴重影響變壓器正常運行以及電力系統的安全穩定。

直流偏磁條件下變壓器鐵心內的磁場求解屬于典型的強非線性問題。有相關研究工作采用A在時域和頻域對直流偏磁問題進行計算和分析。當系統時間常數較大時，時步法需要較長的過渡時間，而頻域法則可以克服這方面的缺陷，同時還能夠與定點技術相結合，在頻域內對各次諧波進行并行計算。

本文采用基于復指數級數的諧波平衡法建立基于磁標量位的頻域非線性磁場方程，引入電矢量位對激勵源進行處理從而有效地簡化計算。將定點技術與頻域算法相結合，考慮場路耦合關系，在頻域內對直流偏磁磁場和勵磁電流進行求解。利用疊片鐵心模型進行直流偏磁實驗，將基于磁標量位的計算結果同實驗結果進行比較，驗證了算法的有效性。

圖1 疊片鐵心實驗模型

總結

• 1）提出了基于磁標量位的定點頻域分解算法，對疊片鐵心模型的直流偏磁問題進行求解和分析。通過與實驗測量結果和其他數值方法計算結果的對比分析，驗證了本文算法的有效性和準確性。
• 2）通過引入定點磁導率實現非線性系數矩陣的線性化處理，對各次諧波進行解耦，降低了計算中系統占用的內存，且適用于并行和分布式計算。在強加電流區域，引入與單位電流激勵對應的電矢量位t0，利用其線性特征，基于棱單元進行插值計算。對于形狀規則的繞組，該方法能夠有效地實現場路耦合建模。
• 3）基于磁標量位的頻域分解算法可以對直流偏磁條件下變壓器內部的磁場進行較為準確和快速的計算，既避免了時步法中的過渡過程，又可以為研究由直流偏磁引起的變壓器鐵心損耗、局部溫升、振動加劇及相關多物理場耦合問題提供重要支撐。
• 4）本文中的計算模型為二維模型，磁標量位占用內存少的優勢難以體現，但其在三維電磁場數值計算中的優勢將十分明顯。后續研究工作需要進一步實現針對三維模型的計算程序，并實現本文方法在解決非線性渦流問題時的有效性分析及其驗證。